Tests cumulatifs et révision ciblée

Ce cas de révision illustre l’orientation de S01 et le panorama de S02. Il n’atteste aucun visionnement documentaire ni activité Brio.

• Les règles représentent explicitement connaissances et inférences; le réseau apprend des paramètres.
• Combinaison neuro-symbolique : perception puis raisonnement, selon besoins et limites.
• Représenter le problème, explorer un espace d’états ou inférer, puis évaluer l’action.
• Le cours approfondit surtout le symbolique, sans réduire toute l’IA à cette famille.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Les difficultés de représentation, de connaissances et de calcul expliquent la diversification ultérieure; données et matériel ont facilité des méthodes déjà anciennes.

Variantes : Une réponse exacte selon les données; aucune approximation ou convention implicite supplémentaire.

La tâche, la représentation et le critère d’intelligence sont des dimensions différentes.

• Techniques pour concevoir des systèmes accomplissant des tâches associées à l’intelligence humaine.
• Pas de définition unique : perception, apprentissage, raisonnement et action donnent des critères différents.
• La même tâche peut utiliser règles, probabilités ou apprentissage.
• Un résultat correct ne prouve pas l’imitation du mécanisme mental humain.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Une application n’impose pas une technique unique. La fonction visée et les entrées/sorties permettent de justifier le classement; le langage peut mobiliser plusieurs de ces fonctions.

• Perception : pixels d’une caméra → objets reconnus, extraction d’information du signal.
• Apprentissage : exemples étiquetés → classificateur ajusté, modification du modèle à partir des données.
• Raisonnement : faits et règles → conclusion justifiée, inférence explicite.
• Optimisation : contraintes et coûts → horaire de coût minimal, comparaison de solutions.
• Décision sous incertitude : observations et probabilités → action selon un critère de décision.
• Ces besoins peuvent coexister dans une même application; expliquer le rôle principal retenu.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Le symbolique rend les connaissances explicites et traçables; l’acquisition et la formalisation des connaissances peuvent être difficiles.

Variantes : Une réponse exacte selon les données; aucune approximation ou convention implicite supplémentaire.

Reconnaître statistiquement une structure ne signifie pas disposer d’une description symbolique explicite de ses raisons.

• Les paramètres sont appris à partir d’exemples.
• Quantité, qualité et représentativité des données influencent la généralisation.
• La connaissance est implicite dans les poids; une prédiction correcte ne fournit pas forcément une justification lisible.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Les algorithmes génétiques explorent des populations sans garantie générale d’optimum; des agents peuvent employer des architectures différentes.

Variantes : Une réponse exacte selon les données; aucune approximation ou convention implicite supplémentaire.

Un réseau bayésien représente l’incertitude explicitement; sa qualité dépend de la structure et des probabilités retenues.

Variantes : Une réponse exacte selon les données; aucune approximation ou convention implicite supplémentaire.

Aucune famille n’est universellement meilleure. La comparaison doit porter sur représentation, besoins et contraintes.

• Symbolique : faits/règles, traçabilité, formalisation coûteuse.
• Neuronale : paramètres appris, reconnaissance, données et opacité.
• Génétique/émergente : populations/interactions, exploration flexible, coût et optimum non garanti.
• Probabiliste : dépendances/incertitude, paramètres et hypothèses fiables nécessaires.
• Un hybride peut combiner ces forces; justifier le choix selon le problème.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Ces conceptions se recoupent; elles ne sont pas quatre familles techniques exclusives.

• Penser humain : modélisation cognitive des processus.
• Agir humain : comportement observable, test de Turing.
• Penser rationnel : logique et inférences valides.
• Agir rationnel : action adaptée aux objectifs et informations.
• Turing n’établit pas l’identité du mécanisme mental; une inférence valide dépend de prémisses et d’une représentation adéquates.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

La rationalité n’exige pas l’omniscience. Plusieurs architectures internes peuvent soutenir une action rationnelle.

Variantes : Une réponse exacte selon les données; aucune approximation ou convention implicite supplémentaire.

L’exemple est fictif. L’alignement porte sur l’objectif et les personnes concernées, pas seulement sur le score technique.

• La mesure de performance représente mal l’objectif humain : qualité et équité du traitement.
• Définir des objectifs et contraintes bénéfiques, sûrs et alignés, puis contrôler les effets.
• Un composant appris peut classer; des règles peuvent imposer des contraintes explicites, sans garantie magique de sûreté.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Le changement du modèle à partir des données caractérise ici l’apprentissage. Une optimisation numérique peut intervenir dans son entraînement, sans transformer la tâche en planification de trajet.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

Une organisation collective peut émerger des interactions. Le texte ne décrit ni population de solutions sélectionnées/croisées/mutées, ni démonstration logique.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

Le critère porte sur le comportement observé pendant le test. Ni identité cognitive ni rationalité universelle n’en découle.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

La validité relie prémisses et conclusion dans les interprétations. Elle ne certifie pas l’exactitude empirique d’une prémisse sur les oiseaux.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

Les traces de traitement et les erreurs servent ici à modéliser la pensée humaine. Le test ne se limite pas au résultat conversationnel, et l’optimalité n’est pas son critère.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

Le réseau traite la perception, le probabiliste l’incertitude, les règles les contraintes explicites. L’hybridation ne garantit ni absence de biais ni qualité de l’objectif poursuivi.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

La formalisation définit tous les états et mouvements, pas seulement le chemin 0→1. Ce petit exemple original est autonome.

• État i entier entre 0 et 4, différent de 2.
• EI=0; test de but i=1; opérations gauche/droite de ±1.
• Précondition : destination dans le domaine et non bloquée; effet : nouvelle position.
• Invariant : toujours une case valide; la stratégie choisit l’ordre d’exploration des successeurs.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Un même état peut avoir plusieurs occurrences dans l’arbre déroulé. Une chaîne de parents appartient à cet arbre, alors qu’un chemin valide appartient au graphe d’états.

• N={S,A,B,G}; A contient les quatre arcs indiqués; ensemble de départ {S}, GD={G}.
• S→A→G est un chemin solution; A→B→A est un cycle.
• Le graphe n’est pas un arbre : cycle A/B; il faut distinguer graphe d’états et arbre de recherche.
• Dans l’arbre déroulé, racine S, parent de la première occurrence de A = S, enfants B et G.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

La représentation implicite économise la construction préalable, sans supprimer l’explosion combinatoire ni choisir la stratégie.

Variantes : Une réponse exacte selon les données; aucune approximation ou convention implicite supplémentaire.

Alternance et arrêt après victoire contraignent les états et parties. Le calcul simplifié illustre surtout la croissance combinatoire.

Variantes : Une réponse exacte selon les données; aucune approximation ou convention implicite supplémentaire.

Aucune graduation ne permet de prélever un volume arbitraire. EI=(0,0), but v4=2; le chemin du maître est une solution, pas la définition du problème.

• État (v4,v3), bornes 0≤v4≤4 et 0≤v3≤3, volumes entiers.
• Précondition v4>0 et v3<3; t=min(v4,3-v3).
• Effet (v4-t,v3+t); depuis (3,2), t=1, donc (2,3).
• Conserver les bornes et le volume pendant le transvidage; remplissage/vidage ont d’autres effets.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Un chemin valide transporte lapin, retour seul, chien, retour lapin, salade, retour seul, lapin. La sécurité fait partie de la représentation.

• Sans fermier, lapin et salade restent ensemble : état dangereux.
• Le fermier doit être sur la rive de son passager; bateau : fermier seul ou un passager.
• Les retours permettent de transporter les autres et parfois ramener le lapin.
• Chaque objet appartient exactement à une rive; contrôler les deux rives après chaque traversée.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Les quatre règles sont VB→BV, BR→RB, VRB→BRV et BVR→RVB. Chaque transition conserve deux V, deux R et un B dans la séquence totale.

Variantes : Une réponse exacte selon les données; aucune approximation ou convention implicite supplémentaire.

L’arithmétique 3+4=7 ne suffit pas à satisfaire la précondition physique.

• Non : les deux chaînes doivent être ouvertes.
• Ouvrir (4,F) en (4,O), attacher en (7,O), puis fermer si voulu.
• La somme totale des longueurs reste 12 dans le problème complet; le nombre de chaînes peut varier.
• Ouvrir/fermer change l’état, pas la longueur.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Ne pas généraliser une propriété sans préciser domaine, doublons, coûts et structure mémorisée.

• Avant : depuis EI; arrière : depuis le but avec prédécesseurs; bidirectionnelle : rencontre des frontières.
• Exactitude : solution légale; complétude : trouver si existe sous hypothèses; optimalité : coût minimal défini.
• Temps : travail; espace : structures conservées.
• Espace fini et détection des cycles suffisent au parcours exhaustif; un espace infini exige d’autres conditions.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Le parent est fixé à la découverte pour ces deux politiques sans doublon. G est découvert depuis A avant le développement de C. La distinction porte sur les parents mémorisés, pas sur la validité des arcs S→A→C→G.

• Largeur : retraits S,A,B,C,G; parents A←S,B←S,C←A,G←A; solution S→A→G, coût 9.
• Profondeur avec insertion simultanée précisée : retraits S,A,C,G; C ne remplace pas G déjà ouvert; solution mémorisée S→A→G, coût 9.
• S→A→C→G est bien un chemin valide du graphe, de coût 6; ce n’est pas la solution reconstruite par les parents de cette exécution.
• La trace de retrait n’est pas automatiquement le chemin reconstruit.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Distances : B=1,A=2; B donne C=2; A est traité avant C à égalité et propose G=9; C remplace G par 4. Chemin S→B→C→G; retraits S,B,A,C,G.

Variantes : Une réponse exacte selon les données; aucune approximation ou convention implicite supplémentaire.

Les traces L1/L2/L3 du maître sont des résultats documentés; les figures absentes ne permettent pas une reconstruction fidèle de toutes leurs transitions.

• Non : avec le même premier opérateur, les deux stratégies peuvent partager ce préfixe.
• Il faut connaître les autres successeurs, leur ordre, la politique de doublons et les retraits suivants.
• La compatibilité d’une trace n’est pas une preuve de l’algorithme effectivement employé.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Les conventions du maître restent visibles, mais une comparaison doit préciser la structure effectivement conservée; O(n) sur graphe explicite ne supprime pas une croissance exponentielle avec la profondeur.

• Le cours décrit temps O(n) pour chaque nœud visité une fois; n est le nombre de nœuds du graphe parcouru.
• O(w) décrit la frontière; mémoriser tous les fermés et parents peut ajouter O(n).
• Largeur minimise le nombre d’arcs à coûts uniformes; à coûts variables, ce n’est pas le coût minimal.
• Les heuristiques visent à réduire l’exploration, avec leurs propres coûts et garanties.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Développer S donne [A,B]; retirer A laisse [B], puis ajouter C en queue donne [B,C]. [C,B] correspondrait à une insertion en tête; les nœuds retirés ne restent pas ouverts.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

Après S : [A,B]. Retirer A puis insérer C en tête donne [C,B]. Le parent A n’est plus dans la frontière.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

Le nouveau coût est g(B)+c(B,A)=2+3=5<7. La relaxation met à jour ensemble distance et parent. Le coût de l’arc seul ne vaut pas le coût depuis le départ.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

BFS minimise le nombre d’arcs sous ses hypothèses de complétude, pas leur coût pondéré. Dijkstra compare les coûts cumulés non négatifs et améliore le parent de G.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

Une recherche arrière remonte les arcs entrants. Réutiliser seulement les arcs sortants du but peut explorer une zone sans lien avec le départ; bidirectionnelle suppose aussi une rencontre testable.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

La croissance combinatoire rend l’exploration exhaustive coûteuse. Une heuristique guide l’effort sans garantir à elle seule optimalité, complétude ou absence d’explosion.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

Exactitude des solutions produites, découverte éventuelle d’une solution et minimalité du coût sont trois propriétés distinctes. La mémoire et le temps sont encore d’autres critères.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

Les arcs ne sont pas des rotations dans les deux sens. La borne inférieure de trois mouvements prouve la minimalité; choisir une stratégie ne remplace pas la définition des états et opérations.

• N={0,1,2}², 9 états; S={(0,0)}, GD={(1,2)}. A relie chaque état aux deux rotations autorisées.
• Opération i applicable à tout état valide; seul le composant i devient (xi+1) mod 3; l’autre est inchangé.
• Invariant : deux composantes dans {0,1,2}; une seule roue change par arc.
• Exemple minimal (0,0)→(1,0)→(1,1)→(1,2), coût 3. Une rotation sur la première et deux sur la seconde sont nécessaires.
• Le générateur calcule exactement les deux successeurs à la demande; BFS avec mémorisation des états évite les cycles.

Variantes : Les renommages uniformes et les démarches équivalentes justifiées sont acceptés.

Le coût et la reconstruction sont tous deux demandés. La trace de cette petite exécution coïncide avec le chemin, ce qui n’est pas une propriété générale.

• Après S : Q(g=1,parent=S),P(g=4,parent=S).
• Après Q : améliorer P(g=2,parent=Q); créer T(g=10,parent=Q).
• Après P : améliorer T(g=5,parent=P). Retirer T : but.
• Retraits S,Q,P,T; parents finaux Q←S,P←Q,T←P; chemin S→Q→P→T, coût 5.
• Chaque relaxation compare g(parent)+coût à la meilleure distance; aucun fermé ne nécessite de réouverture avec Dijkstra sur coûts positifs.

Variantes : Les renommages uniformes et les démarches équivalentes justifiées sont acceptés.

La fin de partie est le test de but de cette modélisation. Un autre objectif (gagner pour X) demanderait un autre ensemble GD, sans changer les coups légaux.

• État : tableau 3×3 sur {vide,X,O}; N = grilles atteignables depuis la grille vide en respectant alternance et arrêt dès fin.
• S={grille vide}; GD = grilles terminales atteignables avec alignement de trois marques identiques ou grille pleine.
• Opération placer(joueur,case) : état non terminal, case vide, joueur déterminé par les comptes (#X=#O : X; #X=#O+1 : O). Effet : seule cette case reçoit sa marque.
• Invariants : #X=#O ou #X=#O+1; alternance, aucune case écrasée, aucune transition sortant d’un terminal. Les seuls comptes ne suffisent pas à exclure tous les états illégaux : la définition par atteignabilité impose aussi l’arrêt à la victoire.
• A est l’ensemble de ces transitions légales. La représentation génère les options; Minimax est un choix de stratégie, pas une partie de N.

Variantes : Renommages uniformes et démonstrations équivalentes acceptés si toutes les étapes demandées sont justifiées.

Le but fixe seulement x=2. Une liste de mouvements ne remplace pas les règles capables de générer toutes les transitions.

• N={(x,y) : x entier 0..4,y entier 0..3}; S={(0,0)}; GD={(2,y) : y=0..3}.
• Remplir 4 : x<4, (x,y)→(4,y). Vider 4 : x>0, (x,y)→(0,y).
• Remplir 3 : y<3, (x,y)→(x,3). Vider 3 : y>0, (x,y)→(x,0).
• 4→3 : x>0,y<3; t=min(x,3−y); effet (x−t,y+t). 3→4 : y>0,x<4; t=min(y,4−x); effet (x+t,y−t).
• A contient exactement ces transitions. Invariants : intégralité et bornes; le volume total se conserve pendant un transvasement, pas pendant remplissage/vidage.
• Exemple légal : (0,0)→(0,3)→(3,0)→(3,3)→(4,2)→(0,2)→(2,0). Pas de prélèvement arbitraire dans un bidon non gradué.

Variantes : Renommages uniformes et démonstrations équivalentes acceptés si toutes les étapes demandées sont justifiées.

Le retour avec le lapin est une opération nécessaire. Interdire tous les retours supprimerait des transitions indispensables à la solution.

• N⊆{0,1}⁴ : si C=L alors F=L; si L=S alors F=L. Ces conditions interdisent chaque paire dangereuse sans fermier sur les deux rives.
• Départ {(0,0,0,0)}, but {(1,1,1,1)}.
• Le fermier traverse seul, ou avec un seul objet p∈{C,L,S} placé sur sa rive. Effet : inverser F et, si choisi, p; laisser les autres positions inchangées.
• Préconditions supplémentaires : l’état résultant doit appartenir à N. Les mêmes règles couvrent les deux sens.
• Invariants : chaque identifiant sur une seule rive, bateau avec F et au plus un passager, sécurité maintenue.
• Suite de passagers : lapin, seul, chien, lapin au retour, salade, seul, lapin. Vérifier chaque état et les deux rives.

Variantes : Renommages uniformes et démonstrations équivalentes acceptés si toutes les étapes demandées sont justifiées.

L’espace des configurations valides contient aussi des états non atteignables depuis le départ; le générateur détermine la partie effectivement accessible.

• N = mots de longueur 5 sur {V,R,B}, contenant exactement 2V,2R,1B (30 mots). S={VVBRR}, GD={RRBVV}.
• Op1 : VB→BV; op2 : BR→RB; op3 : VRB→BRV; op4 : BVR→RVB.
• Chaque précondition est la présence du motif contigu de gauche. Remplacer cette occurrence par le motif de droite en conservant le contexte; un seul B rend son emplacement non ambigu.
• A contient toutes et seulement ces substitutions applicables. Longueur et multiplicité des couleurs sont invariantes.
• Un remplacement de mêmes lettres mais dans le mauvais ordre peut respecter le comptage tout en violant l’opérateur. La stratégie décide quel mot généré développer.

Variantes : Renommages uniformes et démonstrations équivalentes acceptés si toutes les étapes demandées sont justifiées.

Le mot « ensemble » du maître est précisé ici comme collection avec multiplicité. Cette précision corrige une ambiguïté formelle sans changer le modèle d’opérations du cours.

• État = MULTIENSEMBLE de couples (n,e), n entier positif,e∈{O,F}; somme des n = 12. Un ensemble mathématique ordinaire ferait disparaître les quatre occurrences identiques du départ.
• S={multiensemble [(3,O),(3,O),(3,O),(3,O)]}; GD={[(12,F)]}.
• Attacher deux occurrences distinctes (i,O),(j,O), toutes deux présentes : les retirer et insérer (i+j,O). Deux occurrences identiques exigent une multiplicité au moins 2.
• Ouvrir : remplacer une occurrence (i,F) par (i,O). Fermer : remplacer (i,O) par (i,F). Les autres occurrences sont inchangées.
• A est l’ensemble de ces transitions. Invariants : somme 12, longueurs positives, multiplicité préservée sauf fusion de deux chaînes en une.
• [(3,O)×4]→[(6,O),(3,O)×2]→[(9,O),(3,O)]→[(12,O)]→[(12,F)]. Le nombre de chaînes varie, pas le nombre total de maillons.

Variantes : Renommages uniformes et démonstrations équivalentes acceptés si toutes les étapes demandées sont justifiées.

Les deux traces du maître sont maintenant recalculables : la liste complète des arcs, l’ordre, le test de but et la politique des doublons sont fournis.

• DFS : A,C,H,Q,R,P,I,G,D,J,S,T,U,K,E,M,L,X.
• BFS : A,C,D,E,B,H,I,G,J,K,M,L,F,Q,R,P,S,T,U,X.
• Dans les deux exécutions : parent(E)=A, parent(L)=E, parent(X)=L; solution A→E→L→X.
• DFS développe C/H, D/J avant de reprendre E. BFS génère les enfants par niveaux. Les états déjà présents dans OUVERTS sont aussi exclus; il ne suffit pas de tester FERMÉS.
• Les arcs numérotés sont des ordres d’opérations, pas des coûts pondérés.

Variantes : Renommages uniformes et démonstrations équivalentes acceptés si toutes les étapes demandées sont justifiées.

Une heuristique est rapide et contextuelle. Elle ne remplace ni le test de but ni les contraintes du problème.

• État : positions des tuiles et du vide; mouvements légaux du vide, EI et but.
• h = nombre de tuiles mal placées hors vide; plus petit est meilleur.
• h classe approximativement les états, sans changer les opérations légales.
• Un calcul très coûteux peut annuler les économies de recherche.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Le sens dépend de la définition : bien placées → croissant; mal placées ou coût restant → décroissant.

Variantes : Une réponse exacte selon les données; aucune approximation ou convention implicite supplémentaire.

Le graphe est original et exhaustivement donné. L’ordre A,B,C est imposé; aucun départage supplémentaire n’est nécessaire ici.

• Simple choisit A, premier strictement meilleur, puis bloque car D est moins bon.
• Escarpé examine tous les enfants et choisit B, puis G.
• C égal au parent ne constitue pas une amélioration.
• Le blocage de la version simple n’implique pas absence de solution; ni version n’est complète en général.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Meilleur d’abord compare toute la frontière, et peut changer de branche. Il n’impose pas l’amélioration locale de Hill-Climbing.

• Après S : [A1,B2]; après A : [B2,C7].
• B est retiré, puis OUVERTS=[G0,C7]; G est but.
• Trace S,A,B,G; chemin S→B→G.
• C reste disponible même moins bon que A; la frontière conserve des alternatives.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

f=g+h=10. g est parcouru, h estime le reste; les deux doivent employer une échelle compatible.

Variantes : Une réponse exacte selon les données; aucune approximation ou convention implicite supplémentaire.

La seule admissibilité ne suffit pas à justifier une variante qui ignore les fermés avec heuristique incohérente. Une politique de réouverture adaptée est alors nécessaire.

• Depuis S : A(g3,f5), B(g1,f4); retirer B.
• B améliore A en g2,f4 avec parent B; G est ouvert g9,f9.
• Retirer A; G amélioré g4,f4 avec parent A; retirer G.
• Chemin S→B→A→G, coût 4.
• h est cohérente sur chaque arc : h(u)≤c(u,v)+h(v); avec coûts positifs et h(G)=0, les fermés n’ont pas à être rouverts.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

La mention orale 14 reste documentée comme résultat historique du maître. Le graphe PDF complet permet maintenant de la contredire par calcul. Séparer coût g, estimation h et priorité f évite de cumuler plusieurs fois les estimations.

• Après v0 : v1(g3,f5), v2(g4,f6), v3(g2,f7), tous de parent v0.
• Après v1 : v5(g10,f13,parent v1); pas f15. Après v2 : v4(g7,f9,parent v2); pas f11.
• Après v3 : v2 est fermé; v4 s’améliore en g3,f5,parent v3. Après v4 : v6(g7,f7,parent v4).
• Retraits v0,v1,v2,v3,v4,v6; solution v0→v3→v4→v6, coût 2+1+4=7.
• Le tableau historique réutilise f du parent au lieu de g dans les coûts suivants : 5+7+3=15, 6+3+2=11, 7+1+2=10, 10+4=14. C’est la cause arithmétique de 14; ce n’est pas le coût du chemin.
• h(v0)=9 dépasse la vraie distance 7; h n’est pas admissible sur tout le graphe et est incohérente, notamment sur v3→v4 : 5>1+2. L’optimalité de ce cas est vérifiée par Dijkstra, sans garantie générale pour cette variante.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

w=0 donne g (Dijkstra), w=1 donne h (meilleur d’abord). Un facteur positif commun préserve l’ordre, pas la valeur numérique.

Variantes : Une réponse exacte selon les données; aucune approximation ou convention implicite supplémentaire.

Le coût mémoire et le coût de l’heuristique s’ajoutent aux critères d’exploration; le meilleur état dépend du sens de h.

• Hill-Climbing : seul choix local, premier ou meilleur enfant strictement améliorant; alternatives abandonnées.
• Meilleur d’abord : frontière globale triée sur h, alternatives conservées.
• A* : frontière triée sur g+h, amélioration des coûts et parents.
• Aucune garantie d’optimalité sans hypothèses : cohérence pour la variante sans réouverture, ou réouverture adéquate avec admissibilité.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Une feuille peut correspondre à un niveau MAX ou MIN dans un autre arbre; la perspective de l’évaluation reste MAX.

• Racine MAX, enfants MIN, feuilles à profondeur 2.
• Exemple : gauche a feuilles 3 et 5; droite a feuilles 2 et 9.
• Toutes les valeurs mesurent l’intérêt de MAX, quel que soit le joueur au niveau feuille.
• À coupure non terminale, l’évaluation est une estimation; après le coup réel, recalculer depuis le nouvel état.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

B=min(3,5)=3; C=2; D=2. Racine=max(3,2,2)=3, choix B. MAX garantit 3 contre MIN rationnel; la feuille 8 ne peut pas être imposée à MIN.

Variantes : Une réponse exacte selon les données; aucune approximation ou convention implicite supplémentaire.

Le résultat est relatif au modèle, à l’évaluation et à l’adversaire rationnel. Il ne prédit pas toutes les parties contre un adversaire imparfait.

Variantes : Une réponse exacte selon les données; aucune approximation ou convention implicite supplémentaire.

MAX possède déjà B garantissant 3. C/D peuvent être limités à 2 par MIN, donc leurs autres feuilles n’améliorent pas le choix. Le PDF corrigé prime sur la vidéo pour la diapo 22 historique.

• Après B=3, α racine=3.
• Premier enfant de C=2 donne β=2≤α=3; couper sa feuille 8.
• Premier enfant de D=2 donne β=2≤3; couper sa feuille 5.
• Valeur racine 3 comme Minimax; α ne diminue pas, β n’augmente pas dans la propagation d’un même chemin.
• Couper quand α≥β; l’ordre change le travail, pas la valeur; au pire aucune coupure.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

h est admissible : distances réelles S=5,A=3,B=4,G=0. Elle est incohérente sur B→A : 4>1+0. Ignorer l’amélioration de A laisse G à 6. Rouvrir A avec g=2 permet G à 5. Cet exemple précise la limite de la procédure du support.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

L’admissibilité exige h(n)≤d(n) partout. Le deuxième choix surestime A; le troisième surestime B. Ce tableau seul ne permet pas de vérifier la cohérence, qui dépend aussi des arcs.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

Les coefficients sélectionnent g ou h aux extrêmes. À w=0,5, on obtient (g+h)/2 : même ordre que A* si le départage est identique, mais valeurs divisées par deux.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

Le tri porte d’abord sur h, puis ici sur le nom. Il choisit A sans garantir un coût minimal si les arcs ont des coûts différents.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

Chez MAX, α devient au moins 6 et α≥β. La valeur exacte du sous-arbre peut rester inconnue, mais il ne sera pas préféré par l’ancêtre MIN disposant de 5.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

Une coupure peut fournir une borne plutôt que la valeur exacte de chaque nœud interne. La décision et la valeur racine Minimax sont conservées; le pire cas peut ne rien élaguer.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

Tous peuvent explorer A d’abord. Seul Hill-Climbing a abandonné l’alternative B. Meilleur d’abord conserve B par h; A* le conserve par g+h. L’heuristique donnée n’est pas admissible en S : aucune garantie générale supplémentaire n’est déduite de ce succès.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

Les valeurs exactes calculées par Minimax et les bornes observées pendant Alpha-Bêta sont distinguées. Le second parcours n’a pas besoin de connaître A2=9 ni B2=8 pour conserver la décision racine.

• Valeurs exactes sans élagage : A1=5,A2=9,A=5; B1=4,B2=8,B=4; R=5, choisir A.
• A1 visite 3 puis 5, rend 5; A reçoit β=5. A2 reçoit β=5, visite 6 : α=6≥β=5, coupe la feuille 9.
• A rend exactement 5; R reçoit α=5. B1 visite 2 puis 4, rend 4. B a β=4≤α=5 : couper tout B2, donc feuilles 7 et 8.
• Feuilles visitées dans l’ordre : 3,5,6,2,4; trois feuilles évitées. R reste 5; A2 fournit seulement une borne ≥6 pendant Alpha-Bêta, sans prétendre calculer sa valeur exacte 9.
• Coupure chez MAX A2 à cause de β de A; coupure chez MIN B à cause de α de R.

Variantes : Les renommages uniformes et les démarches équivalentes justifiées sont acceptés.

Une estimation simple peut être utile sans résoudre tout le problème. Ici l’égalité à une borne inférieure certifie aussi le coût optimal du chemin proposé.

• h(x,y)=|2-x|+|1-y|, distance Manhattan ignorant les obstacles, à minimiser.
• Chaque déplacement change h d’au plus 1; h≤1+h(voisin), donc cohérence; aucun obstacle ignoré ne peut raccourcir sous Manhattan.
• Chemin (0,0)→(1,0)→(2,0)→(2,1), coût 3, égal à la borne initiale h=3.
• Calcul constant et rapide; moins informatif qu’une distance exacte tenant compte des murs. Représentation = cases/arcs; stratégie = ordre d’exploration.

Variantes : Les renommages uniformes et les démarches équivalentes justifiées sont acceptés.

La limite précédente confondait ce tableau avec BFS/DFS/Dijkstra. Le tableau de S04 contient bien les deux Hill-Climbing, meilleur d’abord, A*, Minimax et Alpha-Bêta.

• HC simple : premier enfant strictement meilleur dans l’ordre; alternatives abandonnées; ni complétude ni optimalité générales, même si le problème a une solution.
• HC escarpé : meilleur enfant strictement améliorant; alternatives abandonnées après choix; mêmes limites, malgré examen de tous les enfants locaux.
• Meilleur d’abord : meilleur h dans toute la frontière, alternatives conservées; exploration complète sur graphe fini avec traitement correct des doublons, mais coût optimal non garanti.
• A* : g+h, alternatives et parents conservés; coûts positifs, h cohérente pour fermés définitifs, ou politique adaptée de réouverture avec h admissible; optimalité sous ces hypothèses.
• Minimax : MAX prend max, MIN min des mêmes gains MAX; alternatives de coups explorées jusqu’aux feuilles/limite; valeur exacte de l’arbre fini évalué, pas garantie d’optimalité réelle au-delà d’une coupure heuristique.
• Alpha-Bêta : même valeur/décision que Minimax sur ce même arbre, bornes α/β et élagage; gain dépend de l’ordre, pire cas sans gain. Un parcours en profondeur peut libérer les sous-arbres : aucune obligation de conserver tout l’arbre en mémoire.
• Mémoire des alternatives n’est pas mémoire totale : états, fermés, parents et générations de voisins dépendent de l’implémentation. Ne pas donner un O(1) global parce que HC abandonne ses branches.

Variantes : Renommages uniformes et démonstrations équivalentes acceptés si toutes les étapes demandées sont justifiées.

Les quatre configurations et la fonction utilisée sont explicites. Aucun état initial n’est à deviner dans une figure absente.

• L1 h=1 : gauche → LF h=0. L2 h=1 : droite → LF h=0. L3 h=1 : bas → LF h=0.
• L4 h=2 : bas → [1,2,3,8,4,*,7,6,5], h=1; gauche → LF, h=0.
• À chaque état, calculer h de tous les voisins légaux, retenir le minimum strictement inférieur; hors grille = opération interdite.
• Les flèches décrivent le mouvement du vide. Si on préfère compter les tuiles bien placées, maximiser 8−h donne les mêmes choix.

Variantes : Renommages uniformes et démonstrations équivalentes acceptés si toutes les étapes demandées sont justifiées.

Le recalcul applique la définition précise de l’heuristique et de « plus à gauche ». Des départages globaux différents peuvent modifier la trace; le coût d’un chemin légal est vérifiable indépendamment.

• Trace sans doublon : VVBRR(4),VBVRR(5),VRVBR(4),VRBVR(2),BRVVR(3),RBVVR(3),VRRVB(3),VRRBV(3),VRVRB(4),VRBRV(2),BRVRV(3),RBVRV(3),RRVBV(2),RRBVV(0).
• Chemin par parents : VVBRR→VBVRR→VRVBR→VRVRB→VRBRV→BRVRV→RBVRV→RRVBV→RRBVV.
• Opérateurs du chemin : 1,4,2,3,3,2,4,1 (8 mouvements).
• La liste historique 1,4,1,3,3,4,1,2,3,2,3,2,4,1 n’est pas un chemin continu : après les quatre premiers, BRVVR ne permet pas l’opérateur 3 suivant.
• Elle suit des choix de branches dans l’illustration; l’illustration montre en plus VRRBV deux fois. La version du portail exclut ce doublon conformément à l’énoncé et distingue trace d’exploration/chemin.

Variantes : Renommages uniformes et démonstrations équivalentes acceptés si toutes les étapes demandées sont justifiées.

Ce sont les valeurs et liens du PDF, désormais tous fournis. Le résultat du maître est vérifié par une simulation déterministe.

• HC escarpé : P(10)→R(7), puis échec car V(10) et W(9) sont moins bons.
• Meilleur d’abord après P : [R7,S8,Q9]; après R : [S8,Q9,W9,V10] (égalité gauche→droite); après S : [Y0,X5,Q9,W9,V10].
• Retraits P,R,S,Y; succès. Parents de Y : Y←S←P, donc chemin P→S→Y, sans R.
• La frontière conserve Q/S quand R est choisi. HC abandonne ces alternatives et ne peut reprendre S.
• Avec les coûts unitaires ajoutés : A* retire aussi P,R,S,Y. Depuis P : R(g1,f8),S(g1,f9),Q(g1,f10); depuis S : Y(g2,f2),X(g2,f7). Chemin P→S→Y, coût2. h(P)=10>distance2 : l’heuristique de cet exercice de classement n’est pas admissible pour cette adaptation en coût.

Variantes : Renommages uniformes et démonstrations équivalentes acceptés si toutes les étapes demandées sont justifiées.

Le même dessin peut servir à une recherche ou à un jeu; la priorité h de cet exercice n’est pas une valeur Minimax.

• Retraits A9,C4,B5,D6,J4,W4 : succès car W est une feuille.
• Après A : C4,B5,D6. Après C : B5,D6,H8,G9. Après B : D6,F8,H8,E9,G9 (ordre spatial pour égalités).
• Après D, J4 est prioritaire; après J, W4 est prioritaire sur I5 et X5.
• Chemin A→D→J→W. P a h=0, mais il n’est pas retiré avant W; le test de but n’est pas ici « h=0 ».

Variantes : Renommages uniformes et démonstrations équivalentes acceptés si toutes les étapes demandées sont justifiées.

Les coordonnées et les cases interdites viennent du dessin PDF. L’expression numérique 3 horizontalement +2 verticalement est Manhattan, et non une distance euclidienne.

• Retraits Entrée,F,H,J,A,B,C,E,G,I,Sortie. Le départage f/h/ordre annoncé reproduit cet ordre; d’autres départages peuvent changer la trace sans changer le coût.
• F : g1,h4,f5; H : g2,h3,f5; J : g3,h4,f7. A reste ouvert g1,h6,f7; M est ajouté après J en g4,h5,f9.
• A→B→C donne g1,2,3; depuis C : E et D en g4,h3,f7. E→G→I donne g4,5,6 et h3,2,1.
• Depuis I : Sortie g7,h0,f7 et K g7,h2,f9; M reste ouvert, D aussi, J reste fermé.
• Chemin Entrée→A→B→C→E→G→I→Sortie, coût 7. Dijkstra confirme le minimum; Manhattan est admissible/cohérente sur les arcs unitaires.
• Le tableau du solutionnaire omet M dans les lignes ultérieures et réintroduit J déjà fermé. Le portail conserve la frontière complète et ne répète pas ces erreurs.

Variantes : Renommages uniformes et démonstrations équivalentes acceptés si toutes les étapes demandées sont justifiées.

v0→v3→v4→v6 coûte 2+1+4=7. Le 14 du tableau est une accumulation erronée de priorités f; le coût g ne cumule que les arcs.

Variantes : Entier exact, unité et tolérance indiquées.

Les 32 valeurs ont été relues dans le tableau du PDF d’exercices. La décision « droite » du solutionnaire est confirmée, avec toutes les valeurs qui manquaient au maître.

• Profondeur 4, MAX, 16 valeurs gauche→droite : 5,3,4,6,−3,12,0,2,16,6,9,−15,17,2,7,2.
• Profondeur 3, MIN, 8 valeurs : 3,4,−3,0,6,−15,2,2.
• Profondeur 2, MAX, 4 valeurs : 4,0,6,2.
• Profondeur 1, MIN : gauche=0, droite=2. Racine profondeur 0 MAX : 2, choisir droite.
• Les feuilles sont à profondeur 5, niveau MIN dans cet arbre; leurs évaluations restent du point de vue de MAX. Ne pas inverser le signe des scores selon le joueur.

Variantes : Renommages uniformes et démonstrations équivalentes acceptés si toutes les étapes demandées sont justifiées.

Les vraies feuilles du PDF sont fournies. H et J sont élagués dans ce parcours précis; les valeurs exactes 8 et 5 sont issues du calcul Minimax complet, pas des feuilles lues par Alpha-Bêta.

• Valeurs MAX : E=max(3,2)=3,F=5,G=max(0,2)=2,H=max(7,8)=8,I=max(2,1)=2,J=max(4,5)=5.
• Valeurs MIN : B=min(3,5)=3,C=min(2,8)=2,D=min(2,5)=2. A=max(3,2,2)=3; choisir B.
• Alpha-Bêta visite K3,L2,M5 puis P0,Q2 : G rend 2, donc C coupe H (R7,S8) car β=2≤α=3.
• I visite T2,U1 et rend 2 : D coupe J (W4,X5) pour la même raison. Feuilles visitées K,L,M,P,Q,T,U : 7 sur 11.
• F ne possède qu’une feuille M; ne pas inventer un second enfant. Les minima et maxima restent alternés; la valeur racine 3 est inchangée.

Variantes : Renommages uniformes et démonstrations équivalentes acceptés si toutes les étapes demandées sont justifiées.

Une preuve syntaxique et une vérification sémantique peuvent se soutenir, mais elles ne sont pas la même démarche.

• Bien formée → syntaxe; vérité/interprétation → sémantique; règles → dynamique.
• La représentation précède l’inférence; clauses/réfutation et Prolog automatisent ensuite un fragment du raisonnement.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

p→q≡¬p∨q. Ce connecteur ne représente pas nécessairement une causalité. Une formule valide est vraie dans toutes les interprétations; satisfiable dans au moins une.

Variantes : Une réponse exacte selon les données; aucune approximation ou convention implicite supplémentaire.

Deux valeurs par proposition : 2^4=16. Calculer ensuite les sous-formules de l’intérieur vers l’extérieur.

Variantes : Une réponse exacte selon les données; aucune approximation ou convention implicite supplémentaire.

Les transformations préservent toutes les interprétations. Une équivalence n’est pas un simple exemple de deux valeurs identiques.

• Première : p∨(¬p∨q), donc tautologie; les quatre lignes sont vraies.
• Deuxième : (p∨q)∧(p∨¬q), par De Morgan et double négation.
• Distribuer : p∨(q∧¬q), donc p.
• Comparer les tables ou fournir des équivalences justifiées; une formule mixte est parenthésée.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Le contre-modèle suffit à invalider l’inférence. Comparer avec modus tollens : p→q et ¬q permettent ¬p. Les huit règles restent dans la lecture, avec leurs prémisses et conclusions.

• Non : p faux et q vrai rendent p→q et q vrais, mais p faux.
• Erreur : affirmation du conséquent; ce n’est pas modus ponens.
• Pour modus ponens, il faudrait p et p→q comme prémisses afin de conclure q.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Une preuve alternative valide est acceptée si ses règles et prémisses sont explicites.

• Convertir en p∨q et ¬p∨q.
• Résolution sur p : q∨q.
• Idempotence : q; écrire {¬p→q,p→q}⊨q.
• Présenter prémisses, but et lignes justifiées; les prémisses restent réutilisables.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Les deux démonstrations sont valides. Une étape ne peut utiliser q avant de l’avoir établi.

• Modus ponens donne q.
• Conjonction donne q∧r.
• Modus ponens avec la dernière implication donne s.
• Ou convertir la dernière en ¬q∨¬r∨s, puis résoudre avec q et r.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Le nom et l’arité caractérisent les symboles. Un terme construit ne possède pas à lui seul une valeur de vérité comme un prédicat appliqué.

• lea : constante; x : variable; f/1 : fonction construisant un terme.
• aime/2 : prédicat; aime(f(x),lea) est une formule atomique.
• Une proposition p cache les objets et relations; les prédicats rendent leur structure explicite.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Changer l’ordre ∀/∃ change généralement le sens. Nier change le quantificateur et la formule sous sa portée.

• ∀x∃y aime(x,y).
• ∃y∀x aime(x,y).
• Négation de la première : ∃x∀y ¬aime(x,y).
• Dans la première, y peut dépendre de x; la seconde exige un même y pour tous.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Le saut direct de l’universel à la conclusion omet une justification. La vidéo reconnaît cette omission.

• Spécification universelle x↦socrate : homme(socrate)→mortel(socrate).
• Puis modus ponens avec le fait.
• Les règles propositionnelles s’appliquent aux formules après l’instanciation appropriée.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Introduire une constante unique dans le second cas imposerait à tort un témoin commun à tous les u.

• Premier : constante fraîche c, pas un objet déjà identifié.
• Second : fonction fraîche f(u), parce que le témoin peut dépendre de u.
• La skolémisation conserve la satisfaisabilité dans une signature étendue.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Le corrigé du second cas est incompatible avec l’énoncé. Une substitution proposée avant de détecter l’échec ne constitue pas un succès.

• Premier : v=P2(x,y) et y=v imposent y=P2(x,y); échec du contrôle d’occurrence.
• Second : C1 ne peut devenir P(y); échec structurel.
• Unifier signifie rendre identiques les expressions par substitution uniforme, sans réécrire une constante.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Le même c est conservé dans toutes les conséquences du témoin; un autre objet non relié ne fermerait pas la chaîne.

• E2 fournit c frais et r(c),∀z(s(z)→t(c,z)).
• E3 et r(c) donnent q(c); E5=p(a) et E1 donnent t(a,c).
• E6=s(b) donne t(c,b).
• E4 transitivité avec les deux relations donne t(a,b); chaque instanciation doit être nommée.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Ces corrections portent sur le sens logique; elles ne modifient pas silencieusement les sources originales.

• Les deux permissions sont accordées : Congé→(Blanche∧Jaune).
• OU permettrait une seule permission; ce n’est pas le sens demandé.
• Le support place ∨ avant ∧; la convention standard fait l’inverse.
• Parenthéser les formules pour rendre leur lecture indépendante des conventions.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Les distributions valides sont ∀ sur ∧ et ∃ sur ∨. Ne pas intervertir arbitrairement quantificateurs de sortes différentes.

• ∀x(P(x)∨Q(x)) est vrai; (∀xP(x))∨(∀xQ(x)) est faux.
• (∃xP(x))∧(∃xQ(x)) est vrai, mais ∃x(P(x)∧Q(x)) est faux.
• Un seul contre-modèle suffit à réfuter une équivalence générale.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

La catégorie et l’affirmation universelle sont distinctes. L’omission de la négation change les personnes visées.

• Première : ∀x(pomme(x)→rouge(x)); la conjonction universelle affirmerait que tout objet est pomme rouge.
• La classe des pommes rouges se décrit par pomme(x)∧rouge(x) à variable libre ou compréhension d’ensemble.
• Seconde : tous les non-riches et intelligents sont heureux; conserver ¬.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

L’existentiel placé avant une implication ne force pas une mesure élevée. Ces deux formulations corrigées préservent la preuve visée.

• Le témoin peut choisir un t rendant l’antécédent faux : implication vraie sans fièvre.
• ∀x∀t((temp(x,t)∧sup(t,38))→fievre(x)).
• Ou ∀x((∃t(temp(x,t)∧sup(t,38)))→fievre(x)).
• Avec une température pertinente, déduire fièvre; avec toux déduire grippe puis ne pas travailler selon les autres règles.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Les douze corrections du maître sont couvertes entre les questions de cette banque; une lecture n’atteste aucun exercice officiel réalisé.

• Le premier ordre est indécidable en général; la résolution est semi-décidable sous stratégie complète/équitable.
• Absence d’arrêt ou de progrès ne prouve pas la négation du but.
• Exprimer « il n’existe pas de x satisfaisant P » par ¬∃xP(x), équivalent à ∀x¬P(x).
• Déclarer le vocabulaire et conserver une formule bien formée et cohérente.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Évaluer toutes les sous-formules évite de confondre une implication à antécédent faux avec une contradiction. Cette table vérifie sémantiquement la validité de modus ponens.

• VV : p→q=V, conjonction=V, F=V.
• VF : p→q=F, conjonction=F, F=V.
• FV : p→q=V, conjonction=F, F=V.
• FF : p→q=V, conjonction=F, F=V.
• F est une tautologie, donc satisfiable. La conclusion q est vraie dès que les deux prémisses p→q et p sont vraies.

Variantes : Les renommages uniformes et les démarches équivalentes justifiées sont acceptés.

Modus tollens : si p entraînait q mais q est faux, p ne peut être vrai dans un modèle des prémisses. L’affirmation du conséquent utiliserait q pour conclure p et serait invalide.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

L’alternative p est exclue, donc q reste. On n’a ni une preuve de ¬q ni les deux membres requis pour p∧q.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

Simplification extrait p (ou q). Pour obtenir p∨r, il faudrait ensuite addition; r seul ne suit pas de la prémisse.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

La transitivité compose les deux implications. Modus ponens pourrait ensuite utiliser p→r avec p pour obtenir r, mais p n’est pas donné ici.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

Les deux implications sont vraies exactement lorsque p et q ont la même valeur. Deux lignes vraies établissent la satisfaisabilité, mais les deux fausses réfutent la validité.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

Nier ∀ donne ∃, nier ∃ donne ∀, puis nier l’atome : il existe une personne qui n’aide personne. Une seule absence d’aide entre deux objets ne suffit pas.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

Comparer f(X) avec f(b) impose X=b; le second argument impose Y=a. X=f(b) produirait f(f(b)), structure trop profonde. Les constantes ne sont pas réécrites.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

L’existence ne nomme pas l’objet témoin. Le choix frais évite une identification non justifiée; les universels applicables peuvent ensuite être instanciés sur ce témoin.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

Le t0 à antécédent faux rend l’implication vraie pour chaque x. Les deux autres formules sont fausses pour Alice à cause de la mesure élevée t1; elles expriment la règle attendue.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

La résolution retire le couple p/¬p et réunit les restes par OU. Elle n’autorise pas la conjonction q∧r : p vrai,q faux,r vrai est un contre-modèle à cette conclusion plus forte.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

La conjonction existe sous un même quantificateur, ce qui relie les deux propriétés au même objet. Un témoin frais ne doit pas être confondu avec une personne déjà nommée.

• Introduire un témoin frais c pour l’existentiel; obtenir inscrit(c) et tuteur(c) par simplification.
• Instancier inscrit(x)→acces(x) sur c; modus ponens donne acces(c).
• Instancier la troisième prémisse sur c; former acces(c)∧tuteur(c), puis modus ponens donne assiste(c).
• Généralisation existentielle : ∃x assiste(x). Ne pas utiliser deux témoins indépendants pour inscrit et tuteur.

Variantes : Les renommages uniformes et les démarches équivalentes justifiées sont acceptés.

Horn signifie au plus un positif. Une base est une conjonction de clauses; une clause est une disjonction. La clause vide est fausse, tandis que la base vide est vraie.

Variantes : Une réponse exacte selon les données; aucune approximation ou convention implicite supplémentaire.

Résultat {¬p(x)∨q(x)}. Énumérer les étapes ne signifie pas introduire des opérations inutiles.

• Éliminer → : ¬p(x)∨q(x).
• Examiner négations, renommage et préfixe; aucun existentiel à skolémiser.
• Omettre ∀; aucune distribution ni séparation nécessaire; une seule clause.
• Les neuf étapes sont : implications, négations, variables liées, préfixe, Skolem, universels, distribution, séparation, renommage entre clauses.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

x peut dépendre de z, quantifié avant lui, mais pas du y intérieur. La skolémisation conserve la satisfaisabilité en signature étendue, pas une équivalence ordinaire dans la signature initiale.

Variantes : Une réponse exacte selon les données; aucune approximation ou convention implicite supplémentaire.

La négation de l’existentiel devient universelle. Ni fonction de Skolem ni séparation en deux clauses n’est nécessaire.

• Nier l’antécédent donne ¬r(x)∨¬p(x,m).
• L’implication intérieure donne ¬∃z t(y,z)∨u(x,y), puis ∀z¬t(y,z).
• Préfixe ∀x∀y∀z, sans existentiel restant.
• Une clause : ¬r(x)∨¬p(x,m)∨s(x)∨¬t(y,z)∨u(x,y).

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Les deux existentiels sont indépendants. Les témoins restent les mêmes entre facteurs; les variables universelles deviennent locales aux clauses.

• Après négations : ∀x((∃y¬p(x,y))∨∃z(q(x,z)∧¬r(x,z))).
• Préfixe ∀x∃y∃z; témoins frais f(x),g(x).
• Clauses ¬p(x,f(x))∨q(x,g(x)) et ¬p(u,f(u))∨¬r(u,g(u)).
• Renommer x/u entre clauses tout en conservant les symboles f/g.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

La négation de p∨q produit ¬p∧¬q, puis la distribution produit deux clauses. Les parenthèses changent le résultat.

• Première formule : {¬p∨r, ¬q∨r}.
• Deuxième formule : {¬p∨¬q∨r}.
• ET relie les clauses de la base; OU relie les littéraux dans une clause.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Les variables sont locales. Confondre leurs noms entre clauses spécialise indûment la résolution. Les renommages et substitutions équivalents sont acceptables.

• Renommer C2 en ¬q(u,a)∨r(u,v).
• Unificateur {u↦b,y↦a}.
• Appliquer aux restes : ¬p(x)∨r(b,v).
• La réponse ¬p(b)∨r(b,a) est une instance spécialisée; x/v ne sont pas imposés.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

La substitution affecte aussi q(w), qui devient q(y). Elle ne supprime pas tous les littéraux d’un même prédicat.

• Choisir w↦y (ou l’inverse avec renommage cohérent).
• Résolvante p(x)∨r(x,y)∨q(y).
• Conserver p(x) : une résolution supprime un seul couple complémentaire.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Les clauses restent réutilisables. Une preuve directe de q puis r, suivie de la contradiction, convient aussi. Un arrêt sans progrès ne prouve pas ¬r.

• Ajouter ¬r.
• Résoudre ¬q∨r avec ¬r : ¬q.
• Résoudre ¬p∨q avec ¬q : ¬p.
• Résoudre p avec ¬p : □; conclure C⊨r.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

La quantification du but doit être déclarée avant de le nier. Un but existentiel aurait au contraire une négation universelle.

• ¬B=∃w∃t(¬q(a,w)∧¬r(b,t)).
• Introduire deux constantes fraîches k1/k2.
• Ajouter ¬q(a,k1) et ¬r(b,k2), sans variables universelles à leur place.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

La clause vide atteste la réfutation du but fermé; le littéral de réponse conserve la valeur cherchée. Un fait sans rapport peut rester inutilisé.

• But fermé : ajouter ¬parent(charles,marie), résoudre avec ¬pere(x,y)∨parent(x,y), puis avec le fait, obtenir □.
• Question : utiliser ¬parent(z,marie)∨reponse(z).
• Résoudre jusqu’à reponse(charles), qui conserve le témoin.
• Convention parent→enfant dans cette base.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Le tableau source reste accessible par le lien de matière. La tâche exige maintenant la justification de ses quinze lignes, et pas seulement le témoin et la conclusion générale. Les renommages uniformes et preuves équivalentes sont acceptés si chaque pas est justifié.

• 1. ¬v(x)∨¬a(x)∨¬e(x)∨¬h(x,y)∨¬h(etna,z)∨d(z,y) : règle générale; variables universelles implicites.
• 2. v(vesuve) : fait.
• 3. ¬a(vesuve)∨¬e(vesuve)∨¬h(vesuve,y)∨¬h(etna,z)∨d(z,y) : 1/2, θ={x↦vesuve}, résoudre sur v.
• 4. a(vesuve) : fait.
• 5. ¬e(vesuve)∨¬h(vesuve,y)∨¬h(etna,z)∨d(z,y) : 3/4, substitution vide, sur a.
• 6. ¬i(u)∨e(u) : conversion de Italie→Europe, u local.
• 7. ¬i(vesuve)∨¬h(vesuve,y)∨¬h(etna,z)∨d(z,y) : 5/6, θ={u↦vesuve}, sur e.
• 8. i(vesuve) : fait.
• 9. ¬h(vesuve,y)∨¬h(etna,z)∨d(z,y) : 7/8, substitution vide, sur i.
• 10. h(vesuve,1000) : fait.
• 11. ¬h(etna,z)∨d(z,1000) : 9/10, θ={y↦1000}, sur h(vesuve,y).
• 12. h(etna,k) : première clause de la négation déjà fournie, avec témoin frais k.
• 13. d(k,1000) : 11/12, θ={z↦k}, sur h(etna,z).
• 14. ¬d(k,1000) : seconde clause de cette même négation, même k.
• 15. □ : 13/14, substitution vide, sur d(k,1000).
• La négation ∃t(h(etna,t)∧¬d(t,1000)) n’est pas niée une seconde fois. Conclusion C⊨∀t(h(etna,t)→d(t,1000)); l’existence d’une hauteur dans C n’est pas prouvée séparément.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Chaque fait, règle convertie et résolvante possède une justification explicite. z↦w conserve directement le résultat ¬heureux(w); l’inverse convient seulement avec les renommages et substitutions cohérents.

• 1. ¬vie_interessante(z) : négation de ∃z vie_interessante(z), universel implicite.
• 2. ¬lire(y)∨intelligent(y) : conversion de E2.
• 3. lire(arthur) : première clause de E3, conjonction séparée.
• 4. ¬heureux(w)∨vie_interessante(w) : conversion de E4.
• 5. ¬riche(x)∨¬intelligent(x)∨heureux(x) : conversion de E1.
• 6. riche(arthur) : seconde clause de E3.
• 7. ¬heureux(w) : 1/4, θ={z↦w}, sur vie_interessante. L’orientation inverse exige un renommage cohérent du résultat.
• 8. ¬riche(w)∨¬intelligent(w) : 5/7, θ={x↦w}, sur heureux.
• 9. ¬lire(w)∨¬riche(w) : 2/8, θ={y↦w}, sur intelligent; l’ordre des littéraux ne change pas la clause.
• 10. ¬riche(arthur) : 3/9, θ={w↦arthur}, sur lire.
• 11. □ : 6/10, substitution vide, sur riche(arthur).
• C⊨∃z vie_interessante(z), témoin Arthur; pas de négation d’un simple atome libre à la place du but existentiel.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Le programme exprime les connaissances. La requête demande leur preuve; elle ne recopie pas la négation ajoutée dans la preuve sur papier.

• p(X,Y) :- q(X,Y), r(X,Y).
• Tête p à gauche, conditions q/r à droite; virgule = ET.
• Clause ¬q(x,y)∨¬r(x,y)∨p(x,y), un seul positif.
• Variables majuscules et point final; un fait est une clause positive unitaire.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

X=a serait compatible isolément, mais les seconds arguments sont incompatibles. Un atome minuscule y diffère d’une variable Y; un tiret non cité peut être un opérateur.

Variantes : Une réponse exacte selon les données; aucune approximation ou convention implicite supplémentaire.

La recherche présentée est en profondeur. Le retour arrière défait les liaisons de la branche abandonnée; une branche infinie pourrait empêcher d’autres réponses.

• Premier choix p(a,1) : X=a,Y=1; q(a,1) échoue.
• Retour arrière : abandonner ces liaisons; choisir p(b,2).
• q(b,2) réussit; réponse X=b,Y=2.
• Les variables partagées se propagent; false d’une branche n’arrête pas tous les choix.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

La petite console du support est erronée. Le lapsus X/Z de la fratrie doit aussi être lu selon les arguments de la règle.

• Réponses W=anne puis W=jimmy, pas Julie.
• Dans la grande base, la même question demanderait les enfants de Nathalie.
• Ne jamais fusionner les bases sans inverser explicitement la relation.
• parent/2 ne code pas le sexe; le nom du prédicat seul ne fixe pas le sens.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Le programme contient faits/règles et le but se termine par un point. Stop interrompt la recherche; aucune installation, création de compte ou exécution externe n’est attestée par cette révision.

Variantes : Une réponse exacte selon les données; aucune approximation ou convention implicite supplémentaire.

Exclusion de soi et unicité des réponses sont distinctes. Le placement du test suppose ici des personnes déjà instanciées.

• Anne et Jimmy sont deux parents communs : deux preuves pour chaque valeur.
• L’identité permet Nathalie dans la règle initiale.
• Le test final retire Nathalie : julie,luc,julie,luc; il ne déduplique pas.
• Au début sur X/Z libres, X=Z réussit, donc not échoue.
• Négation par échec, ni négation classique ni contrainte abstraite de différence.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Les structures et répétitions imposent les liaisons. Renommer des variables de façon uniforme est admis; transformer y minuscule en variable ne l’est pas.

• 1 : X=p(12,abc), Y=12, Z=abc.
• 2 : X=a, Z=g(h(y)); y est un atome.
• 3 : échec a/b.
• 4 : R=f(X,g(h(y))); X reste libre.
• Appliquer chaque substitution à toutes les occurrences de la variable.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

La variable partagée réalise une jointure logique. L’ordre annoncé suit celui des faits; seules ces six données sont nécessaires à cet exemple.

• parcelle(N,roland), culture(N,L), surface(N,S).
• Réponses N=2,L=carottes,S=8 puis N=6,L=pommes_de_terre,S=12.
• Le même N relie propriétaire, culture et surface; des variables indépendantes produiraient un produit cartésien erroné.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

L’ordre des sous-buts et les substitutions expliquent pourquoi c(1,1) et c(5,5) ne deviennent pas des réponses alternatives.

• a(R,T) devient b(R),c(R,R),d(T).
• b(R) devient f(R); f(3) fixe R=3 partout.
• c(3,3) réussit; d(T) fixe T=2.
• Réponse R=3,T=2; les faits e sont inutilisés.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Les cinq questions historiques sont désormais demandées sur les 24 faits, avec résultats, liaisons et limites du modèle. La matière de référence contient le programme complet; les deux bases parent/2 restent séparées.

• parent(marie,elizabeth). réussit. Le sexe n’est pas encodé; la requête seule prouve le lien parental, pas une propriété mere/2.
• parent(nathalie,X). échoue : aucun enfant décrit dans cette base; aucune vérité universelle sur sa vie réelle n’en découle.
• parent(X,patricia). donne X=robert puis X=elizabeth dans l’ordre des faits.
• parent(martin,X),parent(X,Y). donne X=kevin,Y=tom; la branche X=marc n’a pas de descendant dans cette base.
• parent(robert,X),parent(X,Y),parent(Y,sylvie). donne X=anne,Y=luc, chaîne Robert→Anne→Luc→Sylvie.
• Ne pas inverser les arguments en recopiant la petite base enfant→parent. Les variables intermédiaires sont partagées entre les sous-buts.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Les variables intermédiaires doivent être communes aux bonnes relations. Les noms de variables et une permutation sûre des buts sont acceptés si la sémantique et l’instanciation sont préservées.

• soeur_frere(X,Y):-parent(P,X),parent(P,Y),not(X=Y).
• tante_oncle(X,Y):-parent(GP,X),parent(GP,P1),not(P1=X),parent(P1,Y).
• petit_enfant(X,Y):-parent(P,X),parent(Y,P). X est petit-enfant de Y.
• cousin_cousine(X,Y):-parent(GP,P1),parent(GP,P2),not(P1=P2),parent(P1,X),parent(P2,Y).
• Les not viennent après instanciation; un parent commun suffit; des preuves répétées restent possibles.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Correction des règles, complétude pour réfutation, équité de la recherche et terminaison sont quatre propriétés distinctes. Ne pas conclure ¬B d’un arrêt pratique sans progrès.

Variantes : Une réponse exacte selon les données; aucune approximation ou convention implicite supplémentaire.

Un atome est un prédicat appliqué à des termes; un littéral est un atome ou sa négation. Une clause est une disjonction, et une base les relie par ET. p(a)∨q(a) a deux positifs et n’est pas Horn.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

Unitaire = un littéral; Horn = au plus un positif, donc p(a) et ¬p(a) sont Horn. Une disjonction vide est fausse; une conjonction vide est vraie. Ne pas confondre {□} avec {}.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

La majuscule initiale marque la variable. Le nom minuscule avec underscore est ici un atome; aime possède deux arguments. Un nom avec tiret non cité peut être analysé comme un opérateur.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

v dépend des universels antérieurs u; z peut dépendre de u et w. Les existentiels précédents sont déjà remplacés; g n’a pas à recevoir z lui-même comme argument. Skolem préserve la satisfaisabilité dans la signature étendue.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

Nier p∧q donne ¬p∨¬q, donc une seule clause. Le deuxième choix correspond à (p∨q)→r, plus fort; le troisième est la négation de la formule, pas sa conversion.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

Unifier q(x)/q(y) identifie leurs variables puis applique la substitution aux restes. Une constante a spécialiserait sans nécessité. Les restes sont disjoints, pas conjoints.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

Les noms de prédicat sont minuscules, les faits et règles finissent par un point, et la conséquence est en tête. La troisième proposition inverse la règle et omet le fait demandé.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

Le même N réalise la jointure. Des variables N et M séparées produiraient les quatre combinaisons. Next cherche d’autres preuves après le premier succès.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

lien instancie Y à b puis c, tous deux distincts de a; l’unification a=b ou a=c échoue, donc not réussit. Placé avant lien avec Y libre, not(a=Y) échouerait.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

La première donne petit_enfant(cy,ada). La seconde encode X grand-parent de Y, orientation inverse. La troisième partage un parent et encode une fratrie sans exclusion de soi.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

La contradiction provient de l’ajout de ¬B à C : tous les modèles de C satisfont B. Correction de cette preuve, complétude d’un calcul et terminaison d’une stratégie restent distinctes.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

Une variable répétée doit recevoir la même valeur partout. Des variables différentes peuvent recevoir a et b. Enfin t/1 et t/2 sont des structures incompatibles.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

Le corps est une conjonction et partage X. L’échec de la seconde condition annule la liaison rouge et réessaie le choix candidat. Le test d’une condition seule ne suffit pas.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

Les mêmes connaissances passent des prédicats aux clauses puis au programme. La négation du but est ajoutée pour la preuve papier; le programme Prolog conserve les connaissances positives et reçoit le but en requête.

• C={capteur(c1),actif(c1),¬capteur(x)∨¬actif(x)∨alarme(x)}; ajouter ¬alarme(c1).
• Résoudre la règle avec ¬alarme(c1), θ={x↦c1} : ¬capteur(c1)∨¬actif(c1). Puis avec capteur(c1) : ¬actif(c1). Puis actif(c1) : □.
• Programme : capteur(c1). actif(c1). alarme(X):-capteur(X),actif(X). Requête : alarme(c1).
• Clauses de Horn; le fait est une clause positive unitaire, la règle a un positif; la réfutation établit C⊨alarme(c1).
• La preuve suppose les faits/règle; elle ne valide pas le capteur réel ni une garantie de terminaison pour tout programme du premier ordre.

Variantes : Les renommages uniformes et les démarches équivalentes justifiées sont acceptés.

Les règles appliquent les notions à une autre base de taille contrôlable. Vérifier aussi tante_oncle(bea,eli) et cousin(eli,cy) pour contrôler la symétrie attendue du cousinage, sans inverser les relations orientées.

• tante_oncle(X,Y):-parent(G,X),parent(G,P),not(X=P),parent(P,Y).
• cousin(X,Y):-parent(G,P),parent(G,Q),not(P=Q),parent(P,X),parent(Q,Y).
• tante_oncle(X,cy) donne X=dan; cousin(cy,Y) donne Y=eli. Un seul parent commun dans cette base, donc une preuve par réponse.
• Les tests viennent après les faits liant leurs arguments. parent/2 n’établit pas le sexe; parent→enfant ne se fusionne pas avec enfant→parent.

Variantes : Les renommages uniformes et les démarches équivalentes justifiées sont acceptés.