Entraînement — Logique et raisonnement (1/3)

Une preuve syntaxique et une vérification sémantique peuvent se soutenir, mais elles ne sont pas la même démarche.

• Bien formée → syntaxe; vérité/interprétation → sémantique; règles → dynamique.
• La représentation précède l’inférence; clauses/réfutation et Prolog automatisent ensuite un fragment du raisonnement.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

p→q≡¬p∨q. Ce connecteur ne représente pas nécessairement une causalité. Une formule valide est vraie dans toutes les interprétations; satisfiable dans au moins une.

Variantes : Une réponse exacte selon les données; aucune approximation ou convention implicite supplémentaire.

Deux valeurs par proposition : 2^4=16. Calculer ensuite les sous-formules de l’intérieur vers l’extérieur.

Variantes : Une réponse exacte selon les données; aucune approximation ou convention implicite supplémentaire.

Les transformations préservent toutes les interprétations. Une équivalence n’est pas un simple exemple de deux valeurs identiques.

• Première : p∨(¬p∨q), donc tautologie; les quatre lignes sont vraies.
• Deuxième : (p∨q)∧(p∨¬q), par De Morgan et double négation.
• Distribuer : p∨(q∧¬q), donc p.
• Comparer les tables ou fournir des équivalences justifiées; une formule mixte est parenthésée.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Le contre-modèle suffit à invalider l’inférence. Comparer avec modus tollens : p→q et ¬q permettent ¬p. Les huit règles restent dans la lecture, avec leurs prémisses et conclusions.

• Non : p faux et q vrai rendent p→q et q vrais, mais p faux.
• Erreur : affirmation du conséquent; ce n’est pas modus ponens.
• Pour modus ponens, il faudrait p et p→q comme prémisses afin de conclure q.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Une preuve alternative valide est acceptée si ses règles et prémisses sont explicites.

• Convertir en p∨q et ¬p∨q.
• Résolution sur p : q∨q.
• Idempotence : q; écrire {¬p→q,p→q}⊨q.
• Présenter prémisses, but et lignes justifiées; les prémisses restent réutilisables.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Les deux démonstrations sont valides. Une étape ne peut utiliser q avant de l’avoir établi.

• Modus ponens donne q.
• Conjonction donne q∧r.
• Modus ponens avec la dernière implication donne s.
• Ou convertir la dernière en ¬q∨¬r∨s, puis résoudre avec q et r.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Le nom et l’arité caractérisent les symboles. Un terme construit ne possède pas à lui seul une valeur de vérité comme un prédicat appliqué.

• lea : constante; x : variable; f/1 : fonction construisant un terme.
• aime/2 : prédicat; aime(f(x),lea) est une formule atomique.
• Une proposition p cache les objets et relations; les prédicats rendent leur structure explicite.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Changer l’ordre ∀/∃ change généralement le sens. Nier change le quantificateur et la formule sous sa portée.

• ∀x∃y aime(x,y).
• ∃y∀x aime(x,y).
• Négation de la première : ∃x∀y ¬aime(x,y).
• Dans la première, y peut dépendre de x; la seconde exige un même y pour tous.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Le saut direct de l’universel à la conclusion omet une justification. La vidéo reconnaît cette omission.

• Spécification universelle x↦socrate : homme(socrate)→mortel(socrate).
• Puis modus ponens avec le fait.
• Les règles propositionnelles s’appliquent aux formules après l’instanciation appropriée.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Introduire une constante unique dans le second cas imposerait à tort un témoin commun à tous les u.

• Premier : constante fraîche c, pas un objet déjà identifié.
• Second : fonction fraîche f(u), parce que le témoin peut dépendre de u.
• La skolémisation conserve la satisfaisabilité dans une signature étendue.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Le corrigé du second cas est incompatible avec l’énoncé. Une substitution proposée avant de détecter l’échec ne constitue pas un succès.

• Premier : v=P2(x,y) et y=v imposent y=P2(x,y); échec du contrôle d’occurrence.
• Second : C1 ne peut devenir P(y); échec structurel.
• Unifier signifie rendre identiques les expressions par substitution uniforme, sans réécrire une constante.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Le même c est conservé dans toutes les conséquences du témoin; un autre objet non relié ne fermerait pas la chaîne.

• E2 fournit c frais et r(c),∀z(s(z)→t(c,z)).
• E3 et r(c) donnent q(c); E5=p(a) et E1 donnent t(a,c).
• E6=s(b) donne t(c,b).
• E4 transitivité avec les deux relations donne t(a,b); chaque instanciation doit être nommée.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Ces corrections portent sur le sens logique; elles ne modifient pas silencieusement les sources originales.

• Les deux permissions sont accordées : Congé→(Blanche∧Jaune).
• OU permettrait une seule permission; ce n’est pas le sens demandé.
• Le support place ∨ avant ∧; la convention standard fait l’inverse.
• Parenthéser les formules pour rendre leur lecture indépendante des conventions.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Les distributions valides sont ∀ sur ∧ et ∃ sur ∨. Ne pas intervertir arbitrairement quantificateurs de sortes différentes.

• ∀x(P(x)∨Q(x)) est vrai; (∀xP(x))∨(∀xQ(x)) est faux.
• (∃xP(x))∧(∃xQ(x)) est vrai, mais ∃x(P(x)∧Q(x)) est faux.
• Un seul contre-modèle suffit à réfuter une équivalence générale.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

La catégorie et l’affirmation universelle sont distinctes. L’omission de la négation change les personnes visées.

• Première : ∀x(pomme(x)→rouge(x)); la conjonction universelle affirmerait que tout objet est pomme rouge.
• La classe des pommes rouges se décrit par pomme(x)∧rouge(x) à variable libre ou compréhension d’ensemble.
• Seconde : tous les non-riches et intelligents sont heureux; conserver ¬.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

L’existentiel placé avant une implication ne force pas une mesure élevée. Ces deux formulations corrigées préservent la preuve visée.

• Le témoin peut choisir un t rendant l’antécédent faux : implication vraie sans fièvre.
• ∀x∀t((temp(x,t)∧sup(t,38))→fievre(x)).
• Ou ∀x((∃t(temp(x,t)∧sup(t,38)))→fievre(x)).
• Avec une température pertinente, déduire fièvre; avec toux déduire grippe puis ne pas travailler selon les autres règles.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Les douze corrections du maître sont couvertes entre les questions de cette banque; une lecture n’atteste aucun exercice officiel réalisé.

• Le premier ordre est indécidable en général; la résolution est semi-décidable sous stratégie complète/équitable.
• Absence d’arrêt ou de progrès ne prouve pas la négation du but.
• Exprimer « il n’existe pas de x satisfaisant P » par ¬∃xP(x), équivalent à ∀x¬P(x).
• Déclarer le vocabulaire et conserver une formule bien formée et cohérente.

Variantes : Autoévaluation explicite : accepter preuves, noms de variables, substitutions et formulations équivalentes si les étapes et hypothèses restent cohérentes.

Évaluer toutes les sous-formules évite de confondre une implication à antécédent faux avec une contradiction. Cette table vérifie sémantiquement la validité de modus ponens.

• VV : p→q=V, conjonction=V, F=V.
• VF : p→q=F, conjonction=F, F=V.
• FV : p→q=V, conjonction=F, F=V.
• FF : p→q=V, conjonction=F, F=V.
• F est une tautologie, donc satisfiable. La conclusion q est vraie dès que les deux prémisses p→q et p sont vraies.

Variantes : Les renommages uniformes et les démarches équivalentes justifiées sont acceptés.

Modus tollens : si p entraînait q mais q est faux, p ne peut être vrai dans un modèle des prémisses. L’affirmation du conséquent utiliserait q pour conclure p et serait invalide.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

L’alternative p est exclue, donc q reste. On n’a ni une preuve de ¬q ni les deux membres requis pour p∧q.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

Simplification extrait p (ou q). Pour obtenir p∨r, il faudrait ensuite addition; r seul ne suit pas de la prémisse.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

La transitivité compose les deux implications. Modus ponens pourrait ensuite utiliser p→r avec p pour obtenir r, mais p n’est pas donné ici.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

Les deux implications sont vraies exactement lorsque p et q ont la même valeur. Deux lignes vraies établissent la satisfaisabilité, mais les deux fausses réfutent la validité.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

Nier ∀ donne ∃, nier ∃ donne ∀, puis nier l’atome : il existe une personne qui n’aide personne. Une seule absence d’aide entre deux objets ne suffit pas.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

Comparer f(X) avec f(b) impose X=b; le second argument impose Y=a. X=f(b) produirait f(f(b)), structure trop profonde. Les constantes ne sont pas réécrites.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

L’existence ne nomme pas l’objet témoin. Le choix frais évite une identification non justifiée; les universels applicables peuvent ensuite être instanciés sur ce témoin.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

Le t0 à antécédent faux rend l’implication vraie pour chaque x. Les deux autres formules sont fausses pour Alice à cause de la mesure élevée t1; elles expriment la règle attendue.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

La résolution retire le couple p/¬p et réunit les restes par OU. Elle n’autorise pas la conjonction q∧r : p vrai,q faux,r vrai est un contre-modèle à cette conclusion plus forte.

Variantes : Une réponse exacte sous les conventions de l’énoncé.

La conjonction existe sous un même quantificateur, ce qui relie les deux propriétés au même objet. Un témoin frais ne doit pas être confondu avec une personne déjà nommée.

• Introduire un témoin frais c pour l’existentiel; obtenir inscrit(c) et tuteur(c) par simplification.
• Instancier inscrit(x)→acces(x) sur c; modus ponens donne acces(c).
• Instancier la troisième prémisse sur c; former acces(c)∧tuteur(c), puis modus ponens donne assiste(c).
• Généralisation existentielle : ∃x assiste(x). Ne pas utiliser deux témoins indépendants pour inscrit et tuteur.

Variantes : Les renommages uniformes et les démarches équivalentes justifiées sont acceptés.