2. Anatomie d'un système logique

2. Anatomie d'un système logique

Le matériel distingue trois dimensions complémentaires.

• Syntaxe : règles de formation des symboles et des formules. Elle répond à « quelles expressions sont bien formées? »
• Sémantique ou interprétation : attribution d'un sens et de valeurs de vérité aux formules dans un monde ou un problème donné.
• Dynamique : transformations autorisées — équivalences, dérivations et règles d'inférence — qui permettent de raisonner.

Il faut séparer deux sortes de démarche :

• une vérification sémantique, par exemple construire une table de vérité pour savoir si une formule est tautologique;
• une preuve syntaxique, où l'on applique des règles valides à des prémisses afin d'obtenir un but.

En logique propositionnelle, chaque symbole représente un énoncé complet. Le calcul des prédicats décompose davantage la représentation en objets, variables, fonctions, propriétés et relations.

Quelques propriétés sémantiques :

• une formule est satisfiable ou consistante si elle est vraie dans au moins une interprétation;
• elle est valide si elle est vraie dans toutes les interprétations;
• un ensemble est inconsistant si aucune interprétation ne rend toutes ses formules vraies simultanément;
• A ≡ B signifie que A et B ont toujours la même valeur de vérité;
• Γ ⊨ A signifie que toute interprétation qui satisfait les prémisses Γ satisfait aussi A.