5. Minimax et orientation de l’heuristique
5.1. Le jeu et la représentation d’un état
Le pousse-pion se joue à deux avec un seul pion, déplacé à tour de rôle. Un déplacement va vers une case adjacente à gauche, à droite, en haut ou en bas, sans sortir de la grille. Le joueur qui amène le pion en (0,0) gagne. Il est interdit de revenir immédiatement à la case depuis laquelle l’adversaire vient de le déplacer.
Le cas demandé utilise une grille 4×4, coordonnées de 0 à 3, origine en bas à gauche et position initiale (1,3). Les trois premiers coups sont (0,3), (1,2) et (2,3). Minimax est limité à trois niveaux de déplacements après la racine.
Pour engendrer les successeurs, la position courante ne suffit pas : il faut aussi connaître la position précédente, afin d’exclure le retour immédiat. Deux chemins arrivant sur la même case peuvent donc avoir des continuations différentes. Le joueur au trait détermine le niveau de choix.
5.2. Définir ce que signifie « meilleur »
Le corrigé propose le nombre de déplacements restants jusqu’à l’origine. Pour les coordonnées positives de ce cas, l’heuristique est la distance d(x,y)=x+y, avec x l’abscisse et y l’ordonnée. C’est une évaluation de proximité au but, utilisée aux feuilles de l’arbre limité.
Dans cette échelle, plus petit signifie meilleur pour le joueur de départ, appelé Max dans le corrigé. Max choisit donc la plus petite distance; son adversaire, appelé Min, choisit la plus grande pour dégrader cette perspective. La clarification du forum confirme que cette convention est intentionnelle : « meilleure valeur » ne signifie pas automatiquement « plus grande valeur numérique ».
Pour retrouver la convention usuelle où Max maximise numériquement une utilité, on peut poser U(s)=−d(s), avec s l’état évalué. Alors Max maximise U et Min minimise U. Il faut choisir une convention et la garder jusqu’à la racine : comparer les distances avec les règles d’une utilité à maximiser inverserait les décisions.
La fonction heuristique n’est pas imposée de manière unique : le corrigé admet un autre choix. Celui-ci doit être défini et cohérent avec les préférences des joueurs. La proximité seule est une estimation; elle ne suffit pas à prouver une stratégie gagnante dans le jeu complet.
5.3. Construire les trois niveaux et remonter les valeurs
Les étapes officielles sont : construire l’arbre des coups légaux; marquer les niveaux Max et Min, en commençant par Max; évaluer les feuilles; remonter les valeurs; choisir la branche responsable de la valeur à la racine.
Voici le contenu du corrigé graphique, explicité pour conserver les branches et les calculs. À la profondeur 3, le joueur de départ choisit la plus petite distance parmi ses coups :
| Premier coup | Réponse adverse | Troisièmes positions légales et distances | Distance retenue par le joueur initial |
|---|---|---|---|
| (0,3) | (0,2) | (1,2) : 3; (0,1) : 1 | 1 |
| (1,2) | (0,2) | (0,3) : 3; (0,1) : 1 | 1 |
| (1,2) | (1,1) | (0,1) : 1; (1,0) : 1; (2,1) : 3 | 1 |
| (1,2) | (2,2) | (2,3) : 5; (2,1) : 3; (3,2) : 5 | 3 |
| (2,3) | (2,2) | (1,2) : 3; (2,1) : 3; (3,2) : 5 | 3 |
| (2,3) | (3,3) | (3,2) : 5 | 5 |
Par exemple, après (1,3)→(1,2)→(2,2), revenir en (1,2) est interdit; après (1,3)→(2,3)→(2,2), c’est le retour en (2,3) qui est interdit. Cette différence explique les deux lignes partant de (2,2).
L’adversaire choisit ensuite la plus grande des valeurs de ses réponses :
| Premier coup | Valeurs possibles après les réponses adverses | Valeur défavorable retenue |
|---|---|---|
| (0,3) | 1 | 1 |
| (1,2) | 1, 1, 3 | 3 |
| (2,3) | 3, 5 | 5 |
À la racine, le joueur initial préfère min(1,3,5)=1 : le coup choisi est (0,3). En utilité U=−d, les trois valeurs seraient −1, −3, −5, et max(−1,−3,−5)=−1 donne le même choix.
5.4. Ce que le résultat permet de conclure
Le corrigé recommande (0,3) avec cette heuristique et cet horizon. Aucune feuille de profondeur 3 n’atteint encore (0,0); les valeurs terminales d’une victoire ou d’une défaite ne sont donc pas utilisées dans ce calcul. Il s’agit d’une décision limitée par l’évaluation des feuilles, pas d’une preuve que la partie complète sera gagnée.
Les erreurs à éviter sont de revenir sur la case immédiatement précédente, d’oublier une réponse adverse, de choisir une branche favorable en supposant que l’adversaire coopère, ou d’inverser la préférence parce que le niveau porte le nom Max. Le mot Max désigne la perspective du joueur; la signification numérique doit être fixée par la fonction choisie.
Aux feuilles, d=x+y. Le joueur initial préfère une petite distance, l’adversaire choisit la plus grande. Avec U=−d, les mêmes décisions suivent max/min habituels.
Source : Ajout pédagogique du portail, depuis le maître S08 déclaré; les tableaux de la lecture constituent l’alternative textuelle. · 5. Minimax